이야기 파라독스, 논리 덕후를 위한 최고의 책추천

안녕하세요. 핸수입니다.

오늘 소개드릴 책은 수학자 마틴 가드너가 쓴 <이야기 파라독스>입니다. 수학 퍼즐에 관심 있으신 분들은 마틴 가드너라는 이름을 한 번쯤 들어보셨을 텐데요. 대중적이고 재미있는 수학, 과학 분야 저술을 많이 남기셨어요.

<이야기 파라독스>는 말 그대로 파라독스, 역설에 관한 책입니다. 논리적 역설, 수학적 역설 100여 가지가 짧고 쉽고 재미있게 정리되어 있습니다.

 

논리적 역설로 가장 널리 알려진 게 아마 이 문장일 겁니다.

‘모든 크레타인은 거짓말쟁이다.’

 

이 말을 한 사람이 크레타인이라고 합시다. 모든 크레타인이 거짓말만하거나 모든 크레타인이 참말만을 하거나 둘 중 하나라는 가정이 필요합니다.

 

저 문장이 참이라고 가정하면 크레타인은 거짓말쟁이라는 진술이 사실이 되기 때문에 저 문장은 거짓이 됩니다. 반대로 저 문장이 거짓이라고 가정하면 모든 크레타인은 참말만을 하는 게 되기 때문에 저 문장은 참이 됩니다. 문장이 참이라고 가정하면 거짓이 되고, 거짓이라 가정하면 참이 됩니다.

학교에서 명제는 참 또는 거짓이라고 배웠는데, 이 명제는 참도 거짓도 아닌 명제가 되는 것입니다.

 

책에 나온 다른 재미있는 이야기 하나 더 소개드리겠습니다.

 

헴펠의 까마귀

맹교수 : 검은 까마귀의 역설은 외로워 양의 역설만큼이나 놀랍다. 이 방면의 전문가들조차 이 역설을 명확히 설명하지 못해 지금도 계속 고민하고 있다.

까마귀를 세 마리 또는 네 마리만 보고서 “모든 까마귀는 검다”고 결론 내리는 것은 전혀 과학적이지 못하다. 그러나 수백만 마리의 까마귀가 모두 검다면, 그 결론은 과학적으로 거의 검증되었다고 본다.

 

끄덕끄덕. 모든 까마귀는 검다는 걸 증명하려면 충분히 많은 수의 까마귀를 관찰해 모두가 검은 색인지를 알아봐야겠죠?

 

맹 교수 : 노란 송충이에 대해서는 어떻게 생각하는가? 그것은 모든 까마귀가 검다는 법칙을 뒷받침해주는 사례가 되는가?

 

여기서 질문입니다. 우리는 어떤 명제의 대우가 본래 명제와 참, 거짓여부가 같다고 배웠어요. “모든 까마귀는 검다“의 대우는 ”검지 않은 것은 까마귀가 아니다“입니다. 검지 않으면서 까마귀가 아닌 걸 발견하면 '모든 까마귀가 검다'는 명제가 참에 가까워지는 걸까요?

 

엉뚱이 : 하하! 나는 검지 않은 물체, 그러니까 노란 송충이를 발견했다. 이것은 분명히 까마귀가 아니므로, “검지 않은 것은 까마귀가 아니다”는 법칙을 검증해준다. 따라서 이것은 ‘모든 까마귀는 검다’는 법칙도 검증해준다.

맹 교수 : 검지 않으면서 까마귀가 아닌 물체는 수백만 개라도 발견할 수 있다. 그렇다면 이것들도 “모든 까마귀는 검다”는 법칙을 검증해주는가?

무언가 찝찝하죠? 여러분은 어떻게 생각하시나요?

 

저는 적어도 감정적이고 경험적인 맥락에서 위 역설은 의미가 있다고 생각해요. 아래의 현실적인 문장을 보면요.

“오랜기간 꾸준히 영상을 업로드하면 유튜버로 성공할 수 있다.”

이 주장을 증명하기 위해 우리는 실제로 두 가지를 살핍니다. 1번은 원래의 문장, 2번은 대우 문장입니다. 대우 문장은

“유튜버로 성공하지 못했다면 오랜기간 꾸준히 영상을 올리지 않은 것이다.”

입니다.

1. 오랜기간 꾸준히 영상을 업로드한 사람들이 실제로 유튜버로 성공했는가?

(2년 동안 멈추지 않고 영상을 올린 사람들을 추적해 그들이 유튜버로 성공했는지 알아보는 방식)

2. 유튜버로 성공하지 않은 사람들은 오랜기간 꾸준히 영상을 업로드 하지 않았는가?

(아직 성공하지 않은 유튜버들은 추적해 그들의 활동기간이 짧거나 영상을 가끔만 올렸는지 확인하는 방식)

 

현실에서 저는 1,2번 모두 기존 명제를 뒷받침한다고 생각해요.

 

다시 까마귀로 돌아가볼게요. 어느날 산길을 걷다가 흰색 새가 날아가는 모습을 본다고 합시다. 그런데 생긴 게 꼭 까마귀 같아요.

“어! 저거 흰색 까마귀 아냐?”

새가 곧 근처 나뭇가지에 착지합니다. 역시나 그렇지, 흰색 비둘기였습니다.

“그럼 그렇지. 까마귀는 다 검은색이지.”

이 경우, 흰색 비둘기는 “모든 까마귀는 검다”는 명제를 어느 정도 뒷받침해주었다고 말할 수 있는 것 아닐까요?

 

옆에서 제 말을 들은 여자친구가. “감정적으로는 그렇지만 그렇다고 명제가 참일 확률을 높여준다고 할 수 있을까?”라고 되물었습니다.

 

저는 대답하지 못했습니다.